Comité organizador: David Iglesias y Cédric M. Campos
Fechas: 19 y 20 de Diciembre de 2006
Lugar: CSIC, Jorge Manrique 27, 28006 Madrid

Fotografía de los participantes del encuentro.

Programa

Cada conferencia tendrá dos sesiones, una el día 19 y la siguiente el día 20. El programa de cada día es el siguiente:

9:00-10:00 [PDF file]

Dinámica en algebroides de Lie

Diana Sosa Martín, Universidad de La Laguna

El objetivo de este seminario es introducir el concepto de algebroide de Lie y presentar una descripción geométrica tanto del formalismo Lagrangiano como del formalismo Hamiltoniano en algebroides de Lie. El interés de las estructuras de algebroides de Lie radica en que unifican los fibrados tangentes y las álgebras de Lie y que, desde el punto de vista físico, pueden utilizarse para dar una descripción geométrica de la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana.

Bibliografía

A. Weinstein: Lagrangian mechanics and groupoids, Fields Inst. Commun. 7 (1996), 207–231.
P. Libermann: Lie algebroids and mechanics, Arch. Math. (Brno) 32 (1996), 147–162.
E. Martínez: Geometric formulation of mechanics on Lie algebroids, Proceedings of the 8th Fall Workshop on Geometry and Physics (Medina del Campo, 1999) vol 2 (Publicaciones de la RSME) 209–222.
M. de León, J.C. Marrero and E. Martínez: Lagrangian submanifolds and dynamics on Lie algebroids, J. Phys. A.: Math. Gen. 38 (2005), R241–R308.

10:00-11:00

Integral estocástica y procesos sobre variedades: Ecuaciones de Hamilton estocásticas

Joan Andreu Lázaro Camí, Universidad de Zaragoza

En esta charla se pretende repasar los conceptos de integral estocástica de Itô y Stratonovich de un proceso respecto a una semimartingala. Vamos a extender luego esta integral al caso en que los procesos tomen valores en una variedad diferenciable, introduciendo la integración de uno formas a lo largo de procesos con valores en una variedad. Esta noción nos va a permitir definir ecuaciones diferenciales estocásticas sobre una variedad de una forma intrínseca. Como aplicación, vamos a presentar unas ecuaciones de Hamilton que generalizan de manera natural las de la mecánica clásica.

Bibliografía

Para un repaso de conceptos de probabilidad general (y no tan general) está muy bien, por ejemplo:
- G. R. Grimmet, D. R. Stirzaker. Probability and Random Processes. Second edition. Oxford University Press, 1992.
Para familiarizarse con la integral estocástica recomiendo, en este orden:
- B. Oksendal. Stochastic Differential Equations. Fifth edition. Springer-Verlag.
- K. L. Chung, R. J. Williams. Introduction to stochastic integration. Birkhauser, 1990.
Finalmente, para aprender sobre geometría diferencial estocástica, es decir, para tratar procesos con valores en una variedad, están muy bien los siguientes:
- M. Emery. Stochastic Calculus in Manifolds. Universitext (Springer-Verlag). 1989.
- P. A. Meyer. Géométrie Stochastique sans larmes, I. Séminaire de Probabilités (Strasbourg), tome 15 (1981), p. 44-102.

11:00-11:30 Café/Té

11:30-12:00 [PDF file]

Campos de vectores completamente integrables en R^n: algunos aspectos geométricos y topológicos

Daniel Peralta Salas, Universidad Complutense

El objetivo del curso es introducir algunas de las herramientas más importantes que se usan para estudiar campos de vectores con un número maximal de integrales primeras, por ejemplo el teorema de Phillips-Gromov y la construcción de normalizadores. Por su interés en las aplicaciones estudiaremos especialmente los conjuntos de órbitas periódicas. El esquema del curso es el siguiente:

Definiciones básicas y algunos ejemplos.
Órbitas periódicas: existencia y regiones que llenan.
Separatrices
Función período.
Algunas generalizaciones: embeddings completamente integrables.

Parte de los resultados que mencionaremos han sido obtenidos por el ponente en colaboración con Gilbert Hector (Instituto de Matemáticas Camille Jordan, Universidad de Lyon I). En particular generalizaremos resultados de Smith (Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968) 233), Costa y colaboradores (Invent. Math. 93 (1988) 545), Miyoshi (Topology 34 (1995) 383), Freire y colaboradores (J. Differential Equations 204 (2004) 139) y Sabatini (Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2005) 531).

12:30-13:30

Mecánica de Continuos

Cédric M. Campos, Consejo Superior de Investigaciones Científicas

Curso introductorio a conceptos básicos de Mecánica de Continuos.

Cinemática
- Cuerpos y configuraciones
- Descripción referencial y espacial
- El gradiente de deformación y asociados
- El gradiente de velocidad y asociados
Principios de equilibrio
- Ecuación de transporte
- Ley de conservación de la masa
- Momento y fuerza
- Ecuación de movimiento
- Ley de conservación de la energía

Referencias

P. Chadwick, Continuum mechanics, second ed., Dover Publications Inc., Mineola, NY, 1999, Concise theory and problems.
Jerrold E. Marsden and Thomas J. R. Hughes, Mathematical foundations of elasticity, Dover Publications Inc., New York, 1994, Corrected reprint of the 1983 original.
Clifford Ambrose Truesdell, A first course in rational continuum mechanics. Vol. 1, Academic Press, New York, 1977, General concepts, Pure and Applied Mathematics.

13:30-16:00 Comida

16:00-17:00 [PDF file]

Aplicaciones de Sistemas de Lie en Teoría de Control y Mecánica Clásica.

Javier de Lucas Aráujo, Universidad de Zaragoza

Basado en trabajos de J. F. Cariñena y Arturo Ramos, en este curso se analizan las principales propiedades de los sistemas de Lie y varios métodos de cálculo de soluciones exactas: Wei-Norman, Reducción, Sistemas de Lie con iguales álgebras de Lie asociadas. Posteriormente se aplican estos conocimientos en diversos casos concretos de Teoría de Control y Mecánica Clásica.

Referencias

S. Lie, Vorlesungen ¨ uber continuierliche Gruppen mit Ge-ometrischen und anderen Anwendungen, Edited and revised by G. Scheffers, Teubner, Leipzig, 1893.
J. F. Cariñena and A. Ramos, Applications of Lie systems in Quantum Mechanics and Control theory. ArXiv: math-ph 0305021 v1, (2003).
P. Winternitz, Lie groups and solutions of nonlinear differential equations, in: Nonlinear Phenomena, K.B. Wolf Ed., Lecture Notes in Physics 189, Springer-Verlag, N.Y., 1983
J.F. Cariñena, J. Grabowski and G. Marmo, Lie–Scheffers systems: a geometric approach, Bibliopolis, Napoli, 2000.
J.F. Cariñena, G. Marmo and J. Nasarre, The nonlinear superposition principle and the Wei–Norman method, Int. J. Mod. Phys. A 13, 3601–27 (1998).
J.F. Cariñena, J. Grabowski and A. Ramos, Reduction of time-dependent systems admitting a superposition principle, Acta Appl. Math. 66, 67–87 (2001).

17:00-18:00 [PDF file]

Teoría Geométrica de Control Óptimo

Marina Delgado Téllez/Thalia Rodríguez de la Peña, Universidad Carlos III de Madrid

Primera sesión. Definiciones básicas y fundamentos de la teoríaa geométrica de control óptimo.Principio de Máximo de Pontryagin. Ejemplos geométricos.

Referencias:

[Ag04] Agrachev, A. A. and Sachkov, Y. Control Theory from the Geometric View-point,volume 87 of Encyclopedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag,New York-Heidelberg-Berlin, (2004).
[Bu04] Bullo, F. and Lewis, A. D. Geometric Control of Mechanical Systems: Model-ing,Analysis, and Design for Simple Mechanical Systems, number 49 in Textsin Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, (2004).
[De04] M. Delgado-Téllez. Métodos geométricos en problemas de control ´ optimos singulares:fundamentos y aplicaciones. Ph. D. dissertation, Univ. Carlos III de Madrid, (2004).
[Po86] Pontryagin, L. S., Boltyanskii, V. G., Gamkrelidze, R. V., and Mishchenko, E.F., The Mathematical Theory of Optimal Processes, Classics of Soviet Mathematics, Gordon & Breach Science Publishers, New York, reprint of 1962 translation from the Russian by K. N. Trirogoff, (1986).
[Sp98] Spindler, K. Optimal Control on Lie Groups with Applications to Attitude Control. Mathematics of Control, Signals, and Systems, (1998).
[Sp02] Spindler, K. Motion Planning Via Optimal Control Theory. Proceedings of theAmerican Control Conference, (2002).

Segunda sesión. En [Bl00] se propuso que tanto las ecuaciones de Euler para un cuerpo rígido 3D como para uidos incompresibles podían ser vistas como problemas en teoría de control óptimo, donde tal aproximación proporcionaba representaciones alternativas para estos sistemas, como son la representación simétrica y la de impulso respectivamente. Mostraremos la idea geométrica subyacente de estos ejemplos, demostrando que corre-sponden a casos particulares de una correspondencia general entre una clase de problemas de control ´ optimo, los llamados sistemas de control óptimo de Lie-Scheffers-Brockett y los sistemas Lagrangianos con simetría.Construiremos una familia de ecuaciones, similares a las del cuerpo r´ýgido, que resultande aplicar estas ideas al grupo de Lie SO(3).